Gödel

A finales del siglo XIX, el matemático alemán Georg Cantor había introducido la noción de tamaño ("cardinal") para conjuntos infinitos. Según tal concepto, un conjunto A tiene menor cardinal que un conjunto B si, cualquiera que sea la forma en que a cada elemento de A otro le sea asignado en B, quedan siempre elementos de B que no tienen correspondiente. Valiéndose de esta noción, Cantor demostró que el conjunto de los números naturales es menor que el conjunto de todos los números reales (el conjunto de todos los números decimales). Cantor conjeturó también que entre un conjunto y otro no existen conjuntos de tamaño intermedio, enunciado que llegó a ser conocido como la hipótesis del continuo.

En 1908, Ernst Zermelo, formuló una lista de axiomas para la teoría de conjuntos. Entre ellos se encontraba el teorema de elección, el cual (en una de sus versiones) afirma que dada una colección infinita de conjuntos disjuntos, cada uno de los cuales contiene al menos un elemento, existe un conjunto que contiene exactamente un elemento de cada uno de los conjuntos de la colección. Aunque su aspecto parece incuestionable -¿por qué no habríamos de ser capaces de extraer un elemento de cada conjunto?- el axioma de elección entraña una multitud de consecuencias contrarias a la intuición. De él se deduce, por ejemplo, la posibilidad de descomponer una esfera en un número finito de piezas, que separadas y vueltas a ensamblar aplicando tan sólo movimientos rígidos, forme una nueva esfera de volumen doble que la primera